之所以一直这么喜欢mathematica，实在是与其强大的功能，迅速的可视化效果相关，有时做一件事情，面对的只是一次任务，并不需要将其流程化自动化，快速地实现是最重要的。

 
 

接着上次谈mathematica中的关于几种图形的画法。最近读集异璧，一直希望将其中的一些内容使用mathematica实现出来，比如第五章递归过程中关于费波那契数列的扩展。最近希望使用mathematica将之实现并能够推导出来。当然现在能力还力有不逮。

 
 

所谓力有不逮，就是别人告诉我一件事情，我有能力去跟着他做，但是自己有一个想法，还完全不能一丝不差地将之实现。

 
 

今天尝试想将费波那契堆画出来，最后画出这么样的效果

图1

 
 

这是使用LayeredGraphPlot的画法，而如果使用GraphPlot，则出显示出这样的结果：

图2

 
 

想到当年参加集智俱乐部的活动时，俱乐部的袁行远童鞋，曾经演示过一个网页，即是一个混沌系统各个结点在张力的作用下，怎么达到平衡。

当时的代码演示网址
http://www.demogng.de/
选择the-self-orgnizing map观看演示。

等到翻看mathemtica的帮助文档的时候，才真正被震到了。

 
 

怎么样的一张图人看起来地和漂亮，很显然，像图二，当在一片区域有许多结点时，结点分布的均匀的话，整张图看起来会更漂亮，但如何让一张图中的各个结点均匀地分布。

 
 

这就关系到所谓的作图算法（graph drawing algorithms），这样的算法就可以用来解决这样的问题。

我粗略想来，做图算法，解决的是在某块区域中，结点的均匀分布问题，而结点的均匀分布，在任何空间相关的领域都可以有一用之地，假设现在五月花号刚刚到了美洲，这些农民开始在美洲占地盘，那于对他们最有利的方式，就是满足最大的个人空间利用率的方式，每个人距离其他人的距离适中，不离某方过近从而产生争执，这就是graph drawing algorithms所需要解决的问题。

 
 

mathematica的帮助文档中提到了四种模型，分别是spring embeding 和spring-electrical embedding，这两种模型的原理都是最小化一个图的能量函数。还有一种思路是先在高维空间中对结点进行均匀化，然后再重新映射回二维或三维图形。

这几个模型都是针对无向图的画法的，即图中的连接不区分起始点和结束点。相反，区分起始和结束的，就是所谓的有向图。

上图图1和图2都是有向图。

 
 

今天先来看第一个模型spring embeding

spring是弹簧的意思，这个模型就有点像将不同的结点看做不同的小球，然后小球之间通过弹簧连接，当距离过远时，就取吸引力，而过近时则取排斥力。

其具体的计算形式如上所示，

其中|V|为整个图中的结点的数目，括号中为欧几里德距离，Lij则是弹簧的自然长度，i和j指示图中第i个和第j个结点，最后一个参数Kij=R/(Lij*Lij)，是弹簧的强度。

 
 

 
 

明天我们来继续看这个模型。